Minggu, 09 Januari 2011

HETEROSKEDASTISITAS



A.  PENGERTIAN

Salah satu asumsi penting dalam analisa regresi adalah variasi gangguan acak (m) pada setiap variabel bebas adalah homoskedastisitas. Asumsi ini dapat ditulis sebagai berikut :
E (mi2) = d 2        I = 1, 2, ………n
Ketidaksamaan inilah yang disebut sebagai heteroskedastisitas.


Hal tersebut dikarenakan beberapa hal, yaitu :
  1. Error Learning Model
Sebagaimana adanya proses perbaikan yang dilakukan unit-unit ekonomi, maka perilaku kesalahan menjadi lebih kecil dengan bertambahnya waktu. Dalam hal ini diharapkan d 2 menurun.

  1. Perbaikan Dalam Pengumpulan Data
Dengan meningkatnya mutu tekhnik pengumpulan data, maka d 2 diharapkan menurun. Jadi sebuah bank yang mempunyai peralatan pemrosesan data yang canggih cenderung melakukan kesalahan yang lebih sedikit pada laporan bulanan atau kuartalan dibandingkan bank tanpa fasilitas tersebut.

  1. Kesalahan spesifikasi model
Salah satu asumsi dalam analisis regresi adalah model dispesifikasi secara benar. Jika satu variabel yang semestinya harus dimasukkan, tetapi karena suatu hal variabel tersebut tidak dimasukkan, hal itu akan menyebabkan residual dari regresi akan memberikan hasil yang berbeda dengan benar dan varians dari kesalahan tidak konstan.
                          

B.  PENDETEKSIAN HETEROSKEDASTISITAS

1.   UJI PARK

Uji ini mengasumsikan bahwa di 2 adalah fungsi dari variabel bebas Xi. Fungsi yang dianjurkan adalah :

di 2 = d 2 Xi b e vi atau
1n di2 = d2 b 1n Xi + vi

Karena d 2 tidak diketahui, Park mengasumsikan agar mi2 digunakan sebagai proxy, dan dilakukan regresi :

1n mi 2    =  1n d 2 + b 1n Xi + vi
=  a + b 1n Xi + vi

Jika b signifikan, maka ada heteroskedasitas dalam data sebab hipotesis pengujian heteroskedasitas adalah :
H0 : Tidak ada heteroskedastisitas
Ha : Ada heteroskedastisitas

 Contoh:
Berikut adalah data hipotetis tentang Pengeluaran Konsumsi (Y) dalam Juta Rp dan Pendapatan (X) dalam juta Rp pertahun pada 30 responden di DKI Jakarta (Sudah di rangking dari yang terkecil ke yang terbesar):

No
Y
X
1
55
80
2
70
85
3
75
90
4
65
100
5
74
105
6
80
110
7
84
115
8
79
120
9
90
125
10
98
130
11
95
140
12
108
145
13
113
150
14
110
160
15
125
165
16
115
180
17
130
185
18
135
190
19
120
200
20
140
205
21
144
210
22
152
220
23
140
225
24
137
230
25
145
240
26
175
245
27
189
250
28
180
260
29
178
265
30
191
270


 Print out berikut adalah hasil regresi OLS dengan model Y = f (X,e)

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/07/01   Time: 09:00
Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob. 
C
 9.290307
 5.231386
 1.775879
 0.0866
X
 0.637785
 0.028617
 22.28718
 0.0000
R-squared
 0.946638
    Mean dependent var
 119.7333
Adjusted R-squared
 0.944732
    S.D. dependent var
 39.06134
S.E. of regression
 9.182968
    Akaike info criterion
 7.336918
Sum squared resid
 2361.153
    Schwarz criterion
 7.430332
Log likelihood
-108.0538
    F-statistic
 496.7183
Durbin-Watson stat
 1.590347
    Prob(F-statistic)
 0.000000

Berdasarkan print-out tersebut dapat dihitung nilai residual (mI) untuk kemudian di kuadratkan dan di Ln kan. Caranya sebagai berikut:
a. Pada tampilan hasil regresi, klik Procs lalu pilih make residual series dan ketik Residual dan kilk OK seperti tampilan berikut ini:

Dari residual tersebut dapat dihitung residual kuadrat (mi2) lalu di Ln kan dengan menggunakan Generate pada workfile yaitu:

Dengan meregres model : LNRES2 = f (LNX) maka diperoleh hasil seperti Gambar 2.2.

Dari hasil print out tersebut terlihat bahwa koefisien LNX memiliki probabilitas 0.8154 (tidak signifikan pada a = 5%), hal ini berarti bahwa tidak ada heteroskedastisitas pada model tersebut.

Note: Pada uji Park ini, jika variabel bebasnya lebih dari 1 maka diregres secara terpisah, dengan demikian dapat diketahui variabel mana yang menyebabkan adanya heteroskedastisitas 


2.   GOLDFELD-QUANT TEST

Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut :

1.    Urutkanlah dari variabel bebas X dari yang terkecil yang terbesar
2.    Kemudian buat dua regresi secara terpisah, pertama untuk nilai X yang terkecil. Kedua untuk nilai X besar dan hilangkan beberapa data yang ada ditengah.














 




3.    Buatlah rasio RSS (Residual Sum of Square = error sum if square) dari regresi kedua terhadap regresi pertama (RSS2/RSS1) untuk mendapatkan nilai F hitung.
4.    Lakukan uji F dengan menggunakan derajat kebebasan (degree of freedom) sebesar (n-d-2k)/2, dimana
n = banyaknya observasi,
d = banyaknya data atau nilai observasi yang hilang
k = banyaknya parameter yang diperkirakan.

Kriteria uji F jika :
F hitung > F tabel, maka ada heteroskedasitas
F hitung < F tabel, maka tidak ada heteroskedasitas

Uji Goldfeld-Quant ini sangat tepat untuk sampel besar ( n > 30). Seandainya tidak ada data yang dibuang (d = 0) tes masih berlaku tetapi kemampuan untuk mendeteksi adanya heteroskedasitas agak berkurang.

Contoh:
Dengan data yang sama pada uji Park di atas, maka dibuang 20% nilai tengah dari total observasi (6 observasi), yaitu observasi  ke 13 s/d observasi ke 18. Kita dapat meregres dua kelompok data yaitu kelompok I (obs ke 1 s/d obs ke 12) dan kelompok II (obs ke 19 s/d obs ke 30). Hasil regresinya adalah sebagai berikut:
         

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares
Date: 06/07/01   Time: 09:01
Sample: 1 12
Included observations: 12
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob. 
C
 7.412142
 9.535866
 0.777291
 0.4550
X
 0.657289
 0.083736
 7.849565
 0.0000
R-squared
 0.860366
    Mean dependent var
 81.08333
Adjusted R-squared
 0.846402
    S.D. dependent var
 14.91466
S.E. of regression
 5.845283
    Akaike info criterion
 6.520159
Sum squared resid
 341.6734
    Schwarz criterion
 6.600977
Log likelihood
-37.12095
    F-statistic
 61.61567
Durbin-Watson stat
 2.317116
    Prob(F-statistic)
 0.000014

Hasil Regresi kelompok I dengan RSS1 = 341.6734

 
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/07/01   Time: 09:03
Sample: 19 30
Included observations: 12

Variable

Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob. 
C
-49.74731
 34.56614
-1.439192
 0.1807
X
 0.882258
 0.146407
 6.026077
 0.0001
R-squared
 0.784081
    Mean dependent var
 157.5833
Adjusted R-squared
 0.762489
    S.D. dependent var
 23.65455
S.E. of regression
 11.52807
    Akaike info criterion
 7.878459
Sum squared resid
 1328.965
    Schwarz criterion
 7.959277
Log likelihood
-45.27076
    F-statistic
 36.31361
Durbin-Watson stat
 1.315331
    Prob(F-statistic)
 0.000128

         Hasil regresi kelompok II dengan RSS2 = 1328.965

          F-stat                     = RSS2/RSS1 = 1328.965/341.6734     = 3.8896
          F-tabel (a= 5%, df = {30 – 6 – 2(2)}/2 = 10)                              = 2.98        
F-stat > F-tabel Þ      ada heteroskedastisitas
Jika digunakan (a= 1%) maka
F-tabel (a= 1%, df = {30 – 6 – 2(2)}/2 = 10)                     = 4.85
F-stat < F-tabel Þ      tidak ada heteroskedastisitas

3.   UJI WHITE

Hasil uji park bisa berbeda dengan uji Golfeld and Quant. Jika terjadi keraguan maka sebaiknya digunakan uji white yang pada prinsipnya meregres residual yang dikuadratkan dengan variabel bebas pada model.
Jika modelnya                                      : Y = f(X,e)
Maka model White-test nya adalah         : m2 = f(X, X2, e)
Jika modelnya                                     : Y = f(X1,X2, e)
Maka model White test mempunyai dua kemungkinan yaitu:
Model no cross term                   : m2 = f(X1, X2, X12,X22, e)
Model cross term              : m2 = f(X1, X2, X12,X22, X1X2, e)

Kriteria uji White adalah jika :
Obs* R square > c2   tabel, maka ada heteroskedasitas
Obs* R square < c2   tabel, maka tidak ada heteroskedasitas
atau
Prob Obs* R square < 0.05, maka ada heteroskedasitas
Prob Obs* R square > 0.05, maka tidak ada heteroskedastisitas


Langkah-langkah pengujian White Test :
1.    Lakukan estimasi fungsi regresi terlebih dahulu, menspesifikasikan variabel bebas dan variabel tidak bebas.
2.    Klik View, Residual Test, White Heteroskedasticity (Cross term or no Cross term), seperti pada gambar berikut :


Contoh:
Dengan data yang sama pada uji park dan goldfeld and quant, berikut ditampilkan hasi uji white:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic
 2.917301
    Probability
 0.071274
Obs*R-squared
 5.330902
    Probability
 0.069568
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 03/05/04   Time: 09:38
Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob. 
C
-12.29621
 191.7731
-0.064119
 0.9493
X
 0.197385
 2.368760
 0.083329
 0.9342
X^2
 0.001700
 0.006707
 0.253503
 0.8018
R-squared
 0.177697
    Mean dependent var
 78.70511
Adjusted R-squared
 0.116785
    S.D. dependent var
 112.5823
S.E. of regression
 105.8043
    Akaike info criterion
 12.25570
Sum squared resid
 302252.7
    Schwarz criterion
 12.39582
Log likelihood
-180.8355
    F-statistic
 2.917301
Durbin-Watson stat
 1.856573
    Prob(F-statistic)
 0.071274
Obs* R- square                                    = 5.331
c2   tabel dengan (a= 5%,df = 2)                   = 5.990
Obs* R square < c2   tabel, maka tidak ada heteroskedasitas
atau
Prob Obs* R square                              = 0.0695
Prob Obs* R square > 0.05,maka tidak ada heteroskedastisitas

Note: df pada c2   tabel adalah jumlah variabel bebas (regresors) pada regresi model White-test kecuali konstanta.


C.  PENANGGULANGAN TERHADAP HETEROSKEDASTISITAS

  1. Transformasi Logaritma Natural
Jika model berikut ini mengandung heteroskedastisitas :
Yi = a1 + a2 + ui

Lakukanlah tranformasi seperti model logaritma di bawah ini :
LnYi = bi + b2 LnXi
Transformasi dalam bentuk logaritma akan memperkecil skala dari observasi dan kemungkinan besar varians juga akan semakin mengecil dan ada kemungkinan homoskedastisitas terpenuhi.

  1. Transformasi Dengan Membagi Persamaan Dengan Variabel Bebas
Jika model regresi yang telah diuji terdapat heteroskedastisitas maka salah satu penanggulangannya dapat dilakukan dengan membagi persamaan regresi tersebut dengan variabel bebas (independen) yang mengandung heteroskedastisitas. Variabel bebas (independen) yang mengandung heteroskedastisitas tersebut diperoleh dari pengujian White-Test.

Yi = a1 + a2Xi + ui
E (uiXi) ¹ 0 dan E (ui2) ¹ du2
Jika diasumsikan (ui2) = d2 ¹ 0 maka dengan mentransformasikan model regresi tersebut diperoleh model regresi baru sebagai berikut :
Yi / Xi = bo / Xi + b1 + ui/Xi
Dimana : Var (ui/Xi)2 = 1/Xi2 var (ui)2 = 1/Xi2 d2 Xi2 = d2
Homoskedastisitas
Maka kesalahan penggangu menjadi homoskedastisitas. Dengan demikian koefisien regresi dari model baru didapat dengan menggunakan OLS tersebut menjadi unbiased, consistent dan efficient.

1 komentar:

  1. aku butuh sekali. data yg memenuhi heterokedasts dgn sampel lebih dari 200. bisa bantu mas? buat simulasi di tesis. sem dgn GLS. mksh

    BalasHapus