HETEROSKEDASTISITAS

A.  PENGERTIAN

Salah satu asumsi penting dalam analisa regresi adalah variasi gangguan acak (m) pada setiap variabel bebas adalah homoskedastisitas. Asumsi ini dapat ditulis sebagai berikut :

E (m_i²) = d ²        I = 1, 2, ………n

Ketidaksamaan inilah yang disebut sebagai heteroskedastisitas.

Hal tersebut dikarenakan beberapa hal, yaitu :

1. Error Learning Model

Sebagaimana adanya proses perbaikan yang dilakukan unit-unit ekonomi, maka perilaku kesalahan menjadi lebih kecil dengan bertambahnya waktu. Dalam hal ini diharapkan d ² menurun.

2. Perbaikan Dalam Pengumpulan Data

Dengan meningkatnya mutu tekhnik pengumpulan data, maka d ² diharapkan menurun. Jadi sebuah bank yang mempunyai peralatan pemrosesan data yang canggih cenderung melakukan kesalahan yang lebih sedikit pada laporan bulanan atau kuartalan dibandingkan bank tanpa fasilitas tersebut.

3. Kesalahan spesifikasi model

Salah satu asumsi dalam analisis regresi adalah model dispesifikasi secara benar. Jika satu variabel yang semestinya harus dimasukkan, tetapi karena suatu hal variabel tersebut tidak dimasukkan, hal itu akan menyebabkan residual dari regresi akan memberikan hasil yang berbeda dengan benar dan varians dari kesalahan tidak konstan.

                          

B.  PENDETEKSIAN HETEROSKEDASTISITAS

1.   UJI PARK

Uji ini mengasumsikan bahwa di ² adalah fungsi dari variabel bebas Xi. Fungsi yang dianjurkan adalah :

di ² = d ² Xi ^b e ^vi atau

1n di² = d² b 1n Xi + v_i

Karena d ² tidak diketahui, Park mengasumsikan agar m_i² digunakan sebagai proxy, dan dilakukan regresi :

1n m_i ²    =  1n d ² + b 1n Xi + v_i

=  a + b 1n Xi + v_i

Jika b signifikan, maka ada heteroskedasitas dalam data sebab hipotesis pengujian heteroskedasitas adalah :

H₀ : Tidak ada heteroskedastisitas

H_a : Ada heteroskedastisitas

 Contoh:

Berikut adalah data hipotetis tentang Pengeluaran Konsumsi (Y) dalam Juta Rp dan Pendapatan (X) dalam juta Rp pertahun pada 30 responden di DKI Jakarta (Sudah di rangking dari yang terkecil ke yang terbesar):

No	Y	X
1	55	80
2	70	85
3	75	90
4	65	100
5	74	105
6	80	110
7	84	115
8	79	120
9	90	125
10	98	130
11	95	140
12	108	145
13	113	150
14	110	160
15	125	165
16	115	180
17	130	185
18	135	190
19	120	200
20	140	205
21	144	210
22	152	220
23	140	225
24	137	230
25	145	240
26	175	245
27	189	250
28	180	260
29	178	265
30	191	270

 Print out berikut adalah hasil regresi OLS dengan model Y = f (X,e)

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/07/01   Time: 09:00
Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	9.290307	5.231386	1.775879	0.0866
X	0.637785	0.028617	22.28718	0.0000
R-squared	0.946638	Mean dependent var		119.7333
Adjusted R-squared	0.944732	S.D. dependent var		39.06134
S.E. of regression	9.182968	Akaike info criterion		7.336918
Sum squared resid	2361.153	Schwarz criterion		7.430332
Log likelihood	-108.0538	F-statistic		496.7183
Durbin-Watson stat	1.590347	Prob(F-statistic)		0.000000

Berdasarkan print-out tersebut dapat dihitung nilai residual (m_I) untuk kemudian di kuadratkan dan di Ln kan. Caranya sebagai berikut:

a. Pada tampilan hasil regresi, klik Procs lalu pilih make residual series dan ketik Residual dan kilk OK seperti tampilan berikut ini:

Dari residual tersebut dapat dihitung residual kuadrat (m_i²) lalu di Ln kan dengan menggunakan Generate pada workfile yaitu:

Dengan meregres model : LNRES2 = f (LNX) maka diperoleh hasil seperti Gambar 2.2.

Dari hasil print out tersebut terlihat bahwa koefisien LNX memiliki probabilitas 0.8154 (tidak signifikan pada a = 5%), hal ini berarti bahwa tidak ada heteroskedastisitas pada model tersebut.

Note: Pada uji Park ini, jika variabel bebasnya lebih dari 1 maka diregres secara terpisah, dengan demikian dapat diketahui variabel mana yang menyebabkan adanya heteroskedastisitas 

2.   GOLDFELD-QUANT TEST

Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut :

1.    Urutkanlah dari variabel bebas X dari yang terkecil yang terbesar

2.    Kemudian buat dua regresi secara terpisah, pertama untuk nilai X yang terkecil. Kedua untuk nilai X besar dan hilangkan beberapa data yang ada ditengah.

 

3.    Buatlah rasio RSS (Residual Sum of Square = error sum if square) dari regresi kedua terhadap regresi pertama (RSS2/RSS1) untuk mendapatkan nilai F hitung.

4.    Lakukan uji F dengan menggunakan derajat kebebasan (degree of freedom) sebesar (n-d-2k)/2, dimana

n = banyaknya observasi,

d = banyaknya data atau nilai observasi yang hilang

k = banyaknya parameter yang diperkirakan.

Kriteria uji F jika :

F hitung > F tabel, maka ada heteroskedasitas

F hitung < F tabel, maka tidak ada heteroskedasitas

Uji Goldfeld-Quant ini sangat tepat untuk sampel besar ( n > 30). Seandainya tidak ada data yang dibuang (d = 0) tes masih berlaku tetapi kemampuan untuk mendeteksi adanya heteroskedasitas agak berkurang.

Contoh:

Dengan data yang sama pada uji Park di atas, maka dibuang 20% nilai tengah dari total observasi (6 observasi), yaitu observasi  ke 13 s/d observasi ke 18. Kita dapat meregres dua kelompok data yaitu kelompok I (obs ke 1 s/d obs ke 12) dan kelompok II (obs ke 19 s/d obs ke 30). Hasil regresinya adalah sebagai berikut:

         

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/07/01   Time: 09:01
Sample: 1 12
Included observations: 12
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	7.412142	9.535866	0.777291	0.4550
X	0.657289	0.083736	7.849565	0.0000
R-squared	0.860366	Mean dependent var		81.08333
Adjusted R-squared	0.846402	S.D. dependent var		14.91466
S.E. of regression	5.845283	Akaike info criterion		6.520159
Sum squared resid	341.6734	Schwarz criterion		6.600977
Log likelihood	-37.12095	F-statistic		61.61567
Durbin-Watson stat	2.317116	Prob(F-statistic)		0.000014

Hasil Regresi kelompok I dengan RSS1 = 341.6734

 

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 06/07/01   Time: 09:03
Sample: 19 30
Included observations: 12
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-49.74731	34.56614	-1.439192	0.1807
X	0.882258	0.146407	6.026077	0.0001
R-squared	0.784081	Mean dependent var		157.5833
Adjusted R-squared	0.762489	S.D. dependent var		23.65455
S.E. of regression	11.52807	Akaike info criterion		7.878459
Sum squared resid	1328.965	Schwarz criterion		7.959277
Log likelihood	-45.27076	F-statistic		36.31361
Durbin-Watson stat	1.315331	Prob(F-statistic)		0.000128

         Hasil regresi kelompok II dengan RSS2 = 1328.965

          F-stat                     = RSS2/RSS1 = 1328.965/341.6734     = 3.8896

          F-tabel (a= 5%, df = {30 – 6 – 2(2)}/2 = 10)                              = 2.98        

F-stat > F-tabel Þ      ada heteroskedastisitas

Jika digunakan (a= 1%) maka

F-tabel (a= 1%, df = {30 – 6 – 2(2)}/2 = 10)                     = 4.85

F-stat < F-tabel Þ      tidak ada heteroskedastisitas

3.   UJI WHITE

Hasil uji park bisa berbeda dengan uji Golfeld and Quant. Jika terjadi keraguan maka sebaiknya digunakan uji white yang pada prinsipnya meregres residual yang dikuadratkan dengan variabel bebas pada model.

Jika modelnya                                      : Y = f(X,e)

Maka model White-test nya adalah         : m² = f(X, X², e)

Jika modelnya                                     : Y = f(X₁,X₂, e)

Maka model White test mempunyai dua kemungkinan yaitu:

Model no cross term                   : m² = f(X₁, X₂, X₁²,X₂²_, e)

Model cross term              : m² = f(X₁, X₂, X₁²,X₂²_, X₁X₂, e)

Kriteria uji White adalah jika :

Obs* R square > c²   tabel, maka ada heteroskedasitas

Obs* R square < c²   tabel, maka tidak ada heteroskedasitas

atau

Prob Obs* R square < 0.05, maka ada heteroskedasitas

Prob Obs* R square > 0.05, maka tidak ada heteroskedastisitas

Langkah-langkah pengujian White Test :

1.    Lakukan estimasi fungsi regresi terlebih dahulu, menspesifikasikan variabel bebas dan variabel tidak bebas.

2.    Klik View, Residual Test, White Heteroskedasticity (Cross term or no Cross term), seperti pada gambar berikut :

Contoh:

Dengan data yang sama pada uji park dan goldfeld and quant, berikut ditampilkan hasi uji white:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	2.917301	Probability		0.071274
Obs*R-squared	5.330902	Probability		0.069568
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 03/05/04   Time: 09:38
Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-12.29621	191.7731	-0.064119	0.9493
X	0.197385	2.368760	0.083329	0.9342
X^2	0.001700	0.006707	0.253503	0.8018
R-squared	0.177697	Mean dependent var		78.70511
Adjusted R-squared	0.116785	S.D. dependent var		112.5823
S.E. of regression	105.8043	Akaike info criterion		12.25570
Sum squared resid	302252.7	Schwarz criterion		12.39582
Log likelihood	-180.8355	F-statistic		2.917301
Durbin-Watson stat	1.856573	Prob(F-statistic)		0.071274

Obs* R- square                                    = 5.331

c²   tabel dengan (a= 5%,df = 2)                   = 5.990

Obs* R square < c²   tabel, maka tidak ada heteroskedasitas

atau

Prob Obs* R square                              = 0.0695

Prob Obs* R square > 0.05,maka tidak ada heteroskedastisitas

Note: df pada c²   tabel adalah jumlah variabel bebas (regresors) pada regresi model White-test kecuali konstanta.

C.  PENANGGULANGAN TERHADAP HETEROSKEDASTISITAS

1. Transformasi Logaritma Natural

Jika model berikut ini mengandung heteroskedastisitas :

Y_i = a₁ + a₂ + u_i

Lakukanlah tranformasi seperti model logaritma di bawah ini :

LnY_i = b_i + b₂ L_nX_i

Transformasi dalam bentuk logaritma akan memperkecil skala dari observasi dan kemungkinan besar varians juga akan semakin mengecil dan ada kemungkinan homoskedastisitas terpenuhi.

2. Transformasi Dengan Membagi Persamaan Dengan Variabel Bebas

Jika model regresi yang telah diuji terdapat heteroskedastisitas maka salah satu penanggulangannya dapat dilakukan dengan membagi persamaan regresi tersebut dengan variabel bebas (independen) yang mengandung heteroskedastisitas. Variabel bebas (independen) yang mengandung heteroskedastisitas tersebut diperoleh dari pengujian White-Test.

Y_i = a₁ + a₂X_i + u_i

E (u_iX_i) ¹ 0 dan E (u_i²) ¹ du²

Jika diasumsikan (u_i²) = d² ¹ 0 maka dengan mentransformasikan model regresi tersebut diperoleh model regresi baru sebagai berikut :

Y_i / X_i = bo / X_i + b₁ + u_i/X_i

Dimana : Var (u_i/X_i)² = 1/X_i² var (u_i)² = 1/X_i² d² X_i² = d²

Homoskedastisitas

Maka kesalahan penggangu menjadi homoskedastisitas. Dengan demikian koefisien regresi dari model baru didapat dengan menggunakan OLS tersebut menjadi unbiased, consistent dan efficient.